形态学处理 wu-kan

  • 平移:$(A)_z=\lbrace c\mid c=a+z,a\in A\rbrace $,$A$的原点移动到$z$
  • 映射:$\hat{B}=\lbrace w\mid w=-b,b\in B\rbrace $
  • 求补集:$A^c=\lbrace w\mid w\notin A\rbrace $
  • 求差集:$A-B=\lbrace w\mid w\in A,w \notin B\rbrace =A\bigcup B^c$
  • 膨胀:$A\oplus B=\lbrace z\mid (\hat{B})_z\bigcap A=\emptyset\rbrace $,又有$(A\ominus B)^c=A^c\oplus \hat{B}$(易从上面等式推出)
  • 腐蚀:$A\ominus B=\lbrace z\mid (B)_z \subseteq A\rbrace =\lbrace z\mid (B)_z\bigcap A=(B)_z\rbrace $
  • 开操作(先腐蚀后膨胀,平滑轮廓,切断狭区,消除小的孤岛和突刺):$A\circ B=(A\ominus B)\oplus B$;且有性质$A\subseteq A\circ B,C\subseteq D \to C\circ B \subseteq D\circ B,(A \circ B)\circ B=A\circ B$(算子应用一次后,一个集合进行多少次开操作或闭操作或闭操作都不会有变化)
  • 闭操作(先膨胀后腐蚀,平滑轮廓,融合狭窄的间断和细长的「沟壑」,消除小的空洞):$A\bullet B=(A\oplus B)\ominus B$;且有性质$A\subseteq A\bullet B,C\subseteq D \to C\bullet B \subseteq D\bullet B,(A \bullet B)\bullet B=A\bullet B$
  • 击中或击不中变换:令$B=(B_1,B_2)$,则用结构$B$对集合$A$进行匹配操作的定义为$A\circledast B=(A\ominus B_1)\bigcap(A^c\ominus B_2)=(A\ominus B_1)-(A\oplus\hat{B_2})$
  • 边界提取:集合$A$的边界$\beta(A)=A-(A\ominus B)$
  • 区域填充:取集合$A$上初始点$p$,取$X_0=p$,计算$X_k=(X_{k-1}\oplus B)\bigcap A$,直到$X_k=X_{k-1}$,则$X_k$为所求。
  • 连通分量:设$A$为包含子集的集合,取一个边界内的初始点$p$,取$X_0=p$,计算$X_k=(X_{k-1}\oplus B)\bigcap A$,直到$X_k=X_{k-1}$,则$X_k$为所求
  • 凸壳:如果连接集合$A$内任意两点的直线段都在$A$的内部,就称$A$是凸集;任意集合$S$的凸壳$H$是包含$S$的最小凸集,集合差$H-S$称为$S$的凸缺
    • 令$B^i,i=1,2,3,4$表示下图四个结构元(最外圈边缘四行),$X_k^i=(X_{k-1}\circledast B^i)\bigcup A ,i=1,2,3,4,k=1,2,\dots$,且取$X_0^i=A$。当$X_k^i=X_{k-1}^i$时,我们令$D^i=X_k^i$,则$A$的凸壳$C(A)=\bigcup_{i=1}^4D^i$
    • 换言之,反复由$B^i$对$A$做击中或击不中变换,直到结果不变化时得到$D^i$
  • 细化:$A\otimes B=A-(A\circledast B)=A\bigcap(A\circledast B)^c$
    • 用结构元素序列$\lbrace B\rbrace =\lbrace B^1,B^2,\dots,B^n\rbrace $对集合$A$的细化定义为$a\otimes \lbrace B\rbrace =(\dots((A\otimes B^1)\otimes B^2)\dots)\otimes B^n$
  • 粗化:$A\odot B=A\bigcup (A\circledast B)$
    • 用结构元素序列$\lbrace B\rbrace =\lbrace B^1,B^2,\dots,B^n\rbrace $对集合$A$的细化定义为$a\odot \lbrace B\rbrace =(\dots((A\odot B^1)\odot B^2)\dots)\odot B^n$
  • 骨架:$S(A)=\bigcup{k=0}^KS_k(A),S_k(A)=\bigcup{k=0}^K\mid (A\ominus kB)-[(A\ominus kB)\odot B]\mid $
  • 裁剪:$X_1=A\otimes \lbrace B\rbrace ,X_2=\bigcup_{k=1}^s(X_1\circledast B^k),X_3=(X_2\oplus H)\bigcap A,X_4=X_1\bigcup X_3$,$X_4$是裁剪集合$A$的结果。用第一个等式求取$X_1$的次数必须是确定的。结构元素$V$用于前两个等式。第三个等式中,$H$表示结构元素。

灰度级图像扩展

  • $b$是平坦元
    • 腐蚀:$f\ominus b=\min_{(s,t)\in b}\lbrace f(x+s,y+t)\rbrace $
    • 膨胀:$f\oplus b=\max_{(s,t)\in b}\lbrace f(x-s,y-t)\rbrace $
  • $b_N$是非平坦元
    • 腐蚀:$f\ominus b=\min_{(s,t)\in b}\lbrace f(x+s,y+t)-b_N(s,t)\rbrace $;如果所有结构元素值为正,则图像变暗;如果在输入图像中亮的细节比结构元素的面积小,则亮度效果将被消弱
    • 膨胀:$f\oplus b=\max_{(s,t)\in b}\lbrace f(x-s,y-t)+b_N(s,t)\rbrace $,又有$(f\ominus b)^c(s,t)=(f^c\oplus\hat{b})(s,t)$,其中$f^c=-f(x,y),\hat{b}=b(-x,-y)$
  • 开操作和闭操作:灰度图像的开操作和闭操作与二值图像的对应操作具有相同的形式。开操作经常用于去除小的明亮的细节;闭操作经常用于去除小的黑暗的细节。
  • 形态学图像平滑:先采用开操作,然后采用闭操作以去除亮和暗的噪声。
  • 形态学图像梯度:$g=f\oplus b-f\ominus b$
  • 形态学 top-hat 变换:$T_{hat}=f-f\circ b$(白顶帽变换);$B_{hat}=f\bullet b-f$(黑底帽变换)