## 线性代数

### 行列式

1.行列式按行（列）展开定理

 (1) 设$A = ( a_{ {ij} } ){n \times n}$，则：$a{i1}A_{j1} +a_{i2}A_{j2} + \dots + a_{ {in} }A_{ {jn} } = \begin{cases} A ,i=j\ 0,i \neq j\end{cases}$
 或$a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \dots + a_{ {ni} }A_{ {nj} } = \begin{cases} A ,i=j\ 0,i \neq j\end{cases}$即 $AA^{} = A^{}A = \left A \right E,$其中：$A^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1n} \ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2n} \ \dots & \dots & \dots & \dots \ A_{n1} & A_{n2} & \dots & A_{ {nn} } \ \end{pmatrix} = (A_{ {ji} }) = {(A_{ {ij} })}^{T}$

$D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \ x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} \ \dots & \dots & \dots & \dots \ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & \dots & x_{n}^{n - 1} \ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})$

 (2) 设$A,B$为$n$阶方阵，则$\left {AB} \right = \left A \right \left B \right = \left B \right \left A \right = \left {BA} \right$，但$\left A \pm B \right = \left A \right \pm \left B \right$不一定成立。
 (3) $\left {kA} \right = k^{n}\left A \right$,$A$为$n$阶方阵。
 (4) 设$A$为$n$阶方阵，$A^{T} = A ; A^{- 1} = A ^{- 1}$（若$A$可逆），$A^{*} = A ^{n - 1}$

$n \geq 2$

 (5) $\left \begin{matrix} & {A\quad O} \ & {O\quad B} \ \end{matrix} \right = \left \begin{matrix} & {A\quad C} \ & {O\quad B} \ \end{matrix} \right = \left \begin{matrix} & {A\quad O} \ & {C\quad B} \ \end{matrix} \right = A B$ ，$A,B$为方阵，但$\left \begin{matrix} {O} & A_{m \times m} \ B_{n \times n} & { O} \ \end{matrix} \right = ({- 1)}^{ {mn} } A B$ 。

(6) 范德蒙行列式$D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \ x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} \ \dots & \dots & \dots & \dots \ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n 1} & \dots & x_{n}^{n - 1} \ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})$

### 矩阵

1.矩阵的加法

2.矩阵的数乘

3.矩阵的乘法

4. $\mathbf{A}^{\mathbf{T} }$$\mathbf{A}^{\mathbf{-1} }$$\mathbf{A}^{\mathbf{*} }$三者之间的关系

(1) ${(A^{T})}^{T} = A,{(AB)}^{T} = B^{T}A^{T},{(kA)}^{T} = kA^{T},{(A \pm B)}^{T} = A^{T} \pm B^{T}$

(2) $\left( A^{- 1} \right)^{- 1} = A,\left( {AB} \right)^{- 1} = B^{- 1}A^{- 1},\left( {kA} \right)^{- 1} = \frac{1}{k}A^{- 1},$

 (3) $\left( A^{} \right)^{} = A ^{n - 2}\ A\ \ (n \geq 3)$，$\left({AB} \right)^{} = B^{}A^{},$ $\left( {kA} \right)^{} = k^{n -1}A^{*}{\ \ }\left( n \geq 2 \right)$

(4) ${(A^{- 1})}^{T} = {(A^{T})}^{- 1},\ \left( A^{- 1} \right)^{} ={(AA^{})}^{- 1},{(A^{})}^{T} = \left( A^{T} \right)^{}$

5.有关$\mathbf{A}^{\mathbf{*} }$的结论

 (1) $AA^{} = A^{}A = A E$
 (2) $A^{*} = A ^{n - 1}\ (n \geq 2),\ \ \ \ {(kA)}^{} = k^{n -1}A^{},{ {\ \ }\left( A^{} \right)}^{} = A ^{n - 2}A(n \geq 3)$
 (3) 若$A$可逆，则$A^{*} = A A^{- 1},{(A^{})}^{} = \frac{1}{ A }A$

(4) 若$A​$为$n​$阶方阵，则：

$r(A^*)=\begin{cases}n,\quad r(A)=n\ 1,\quad r(A)=n-1\ 0,\quad r(A)<n-1\end{cases}$

6.有关$\mathbf{A}^{\mathbf{- 1} }$的结论

 $A$可逆$\Leftrightarrow AB = E; \Leftrightarrow A \neq 0; \Leftrightarrow r(A) = n;$

$\Leftrightarrow A$可以表示为初等矩阵的乘积；$\Leftrightarrow A;\Leftrightarrow Ax = 0$。

7.有关矩阵秩的结论

(1) 秩$r(A)$=行秩=列秩；

(2) $r(A_{m \times n}) \leq \min(m,n);$

(3) $A \neq 0 \Rightarrow r(A) \geq 1$；

(4) $r(A \pm B) \leq r(A) + r(B);$

(5) 初等变换不改变矩阵的秩

(6) $r(A) + r(B) - n \leq r(AB) \leq \min(r(A),r(B)),$特别若$AB = O$ 则：$r(A) + r(B) \leq n$

(7) 若$A^{- 1}$存在$\Rightarrow r(AB) = r(B);$ 若$B^{- 1}$存在 $\Rightarrow r(AB) = r(A);$

(8) $r(A_{m \times s}) = n \Leftrightarrow Ax = 0$只有零解

8.分块求逆公式

$\begin{pmatrix} A & O \ O & B \ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \ O & B^{- 1} \ \end{pmatrix}$； $\begin{pmatrix} A & C \ O & B \\end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}& - A^{- 1}CB^{- 1} \ O & B^{- 1} \ \end{pmatrix}$；

$\begin{pmatrix} A & O \ C & B \ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}&{O} \ - B^{- 1}CA^{- 1} & B^{- 1} \\end{pmatrix}$； $\begin{pmatrix} O & A \ B & O \ \end{pmatrix}^{- 1} =\begin{pmatrix} O & B^{- 1} \ A^{- 1} & O \ \end{pmatrix}$

### 向量

1.有关向量组的线性表示

(1)$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$线性相关$\Leftrightarrow$至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

(2)$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$线性无关，$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$，$\beta$线性相关$\Leftrightarrow \beta$可以由$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$唯一线性表示。

(3) $\beta$可以由$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$线性表示 $\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s},\beta)$ 。

2.有关向量组的线性相关性

(1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关.

(2) ① $n$个$n$维向量 $\alpha_{1},\alpha_{2}\dots\alpha_{n}$线性无关$\Leftrightarrow \left|\left\lbrack \alpha_{1}\alpha_{2}\dots\alpha_{n} \right\rbrack \right| \neq0$， $n$个$n$维向量$\alpha_{1},\alpha_{2}\dots\alpha_{n}$线性相关 $\Leftrightarrow |\lbrack\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\rbrack| = 0$ 。

② $n + 1$个$n$维向量线性相关。

③ 若$\alpha_{1},\alpha_{2}\dots\alpha_{S}$线性无关，则添加分量后仍线性无关；或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关。

3.有关向量组的线性表示

(1) $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$线性相关$\Leftrightarrow$至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

(2) $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$线性无关，$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$，$\beta$线性相关$\Leftrightarrow\beta$ 可以由$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$唯一线性表示。

(3) $\beta$可以由$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$线性表示 $\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s},\beta)$

4.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

(1) 若$r(A_{m \times n}) = r = m$，则$A$的行向量组线性无关。

(2) 若$r(A_{m \times n}) = r < m$，则$A$的行向量组线性相关。

(3) 若$r(A_{m \times n}) = r = n$，则$A$的列向量组线性无关。

(4) 若$r(A_{m \times n}) = r < n$，则$A$的列向量组线性相关。

5.$\mathbf{n}$维向量空间的基变换公式及过渡矩阵

$(\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{n}) = (\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n})\begin{bmatrix} c_{11}& c_{12}& \dots & c_{1n} \ c_{21}& c_{22}&\dots & c_{2n} \ \dots & \dots & \dots & \dots \ c_{n1}& c_{n2} & \dots & c_{ {nn} } \\end{bmatrix} = (\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n})C$

6.坐标变换公式

$Y = \left( y_{1},y_{2},\dots,y_{n} \right)^{T}$ 即： $\gamma =x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + \dots + x_{n}\alpha_{n} = y_{1}\beta_{1} +y_{2}\beta_{2} + \dots + y_{n}\beta_{n}$，则向量坐标变换公式为$X = CY$ 或$Y = C^{- 1}X$，其中$C$是从基$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}$到基$\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{n}$的过渡矩阵。

7.向量的内积

$(\alpha,\beta) = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \dots + a_{n}b_{n} = \alpha^{T}\beta = \beta^{T}\alpha$

8.Schmidt 正交化

…………

$\beta_{s} = \alpha_{s} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2} - \dots - \frac{(\alpha_{s},\beta_{s - 1})}{(\beta_{s - 1},\beta_{s - 1})}\beta_{s - 1}$

9.正交基及规范正交基

### 线性方程组

1．克莱姆法则

 线性方程组$\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \dots +a_{1n}x_{n} = b_{1} \ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \dots + a_{2n}x_{n} =b_{2} \ \quad\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \dots + a_{ {nn} }x_{n} = b_{n} \ \end{cases}$，如果系数行列式$D = \left A \right \neq 0$，则方程组有唯一解，$x_{1} = \frac{D_{1} }{D},x_{2} = \frac{D_{2} }{D},\dots,x_{n} =\frac{D_{n} }{D}$，其中$D_{j}$是把$D$中第$j$列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式。

2. $n$阶矩阵$A$可逆$\Leftrightarrow Ax = 0$只有零解。$\Leftrightarrow\forall b,Ax = b$总有唯一解，一般地，$r(A_{m \times n}) = n \Leftrightarrow Ax= 0$只有零解。

3.非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构

(1) 设$A$为$m \times n$矩阵，若$r(A_{m \times n}) = m$，则对$Ax =b$而言必有$r(A) = r(A \vdots b) = m$，从而$Ax = b$有解。

(2) 设$x_{1},x_{2},\dots x_{s}$为$Ax = b$的解，则$k_{1}x_{1} + k_{2}x_{2}\dots + k_{s}x_{s}$当$k_{1} + k_{2} + \dots + k_{s} = 1$时仍为$Ax =b$的解；但当$k_{1} + k_{2} + \dots + k_{s} = 0$时，则为$Ax =0$的解。特别$\frac{x_{1} + x_{2} }{2}$为$Ax = b$的解；$2x_{3} - (x_{1} +x_{2})$为$Ax = 0$的解。

(3) 非齐次线性方程组${Ax} = b$无解$\Leftrightarrow r(A) + 1 =r(\overline{A}) \Leftrightarrow b$不能由$A$的列向量$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}$线性表示。

4.奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解

(1) 齐次方程组${Ax} = 0$恒有解(必有零解)。当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此${Ax}= 0$的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是$n - r(A)$，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系。

(2) $\eta_{1},\eta_{2},\dots,\eta_{t}$是${Ax} = 0$的基础解系，即：

1. $\eta_{1},\eta_{2},\dots,\eta_{t}$是${Ax} = 0$的解；

2. $\eta_{1},\eta_{2},\dots,\eta_{t}$线性无关；

3. ${Ax} = 0$的任一解都可以由$\eta_{1},\eta_{2},\dots,\eta_{t}$线性表出. $k_{1}\eta_{1} + k_{2}\eta_{2} + \dots + k_{t}\eta_{t}$是${Ax} = 0$的通解，其中$k_{1},k_{2},\dots,k_{t}$是任意常数。

### 矩阵的特征值和特征向量

1.矩阵的特征值和特征向量的概念及性质

(1) 设$\lambda$是$A$的一个特征值，则 ${kA},{aA} + {bE},A^{2},A^{m},f(A),A^{T},A^{- 1},A^{*}$有一个特征值分别为 ${kλ},{aλ} + b,\lambda^{2},\lambda^{m},f(\lambda),\lambda,\lambda^{- 1},\frac{|A|}{\lambda},$且对应特征向量相同（$A^{T}$ 例外）。

 (2)若$\lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{n}$为$A$的$n$个特征值，则$\sum_{i= 1}^{n}\lambda_{i} = \sum_{i = 1}^{n}a_{ {ii} },\prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}= A$ ,从而$A \neq 0 \Leftrightarrow A$没有特征值。

(3)设$\lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{s}$为$A$的$s$个特征值，对应特征向量为$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$，

2.相似变换、相似矩阵的概念及性质

(1) 若$A \sim B$，则

1. $A^{T} \sim B^{T},A^{- 1} \sim B^{- 1},,A^{} \sim B^{}$

2.  $A = B ,\sum_{i = 1}^{n}A_{ {ii} } = \sum_{i =1}^{n}b_{ {ii} },r(A) = r(B)$
3.  $\lambda E - A = \lambda E - B$，对$\forall\lambda$成立

3.矩阵可相似对角化的充分必要条件

(1)设$A$为$n$阶方阵，则$A$可对角化$\Leftrightarrow$对每个$k_{i}$重根特征值$\lambda_{i}$，有$n-r(\lambda_{i}E - A) = k_{i}$

(2) 设$A$可对角化，则由$P^{- 1}{AP} = \Lambda,$有$A = {PΛ}P^{-1}$，从而$A^{n} = P\Lambda^{n}P^{- 1}$

(3) 重要结论

1. 若$A \sim B,C \sim D​$，则$\begin{bmatrix} A & O \ O & C \\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} B & O \ O & D \\end{bmatrix}​$.

2.  若$A \sim B$，则$f(A) \sim f(B),\left f(A) \right \sim \left f(B)\right$，其中$f(A)$为关于$n$阶方阵$A$的多项式。
3. 若$A$为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数(重根重复计算)＝秩($A$)

4.实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵

(1)相似矩阵：设$A,B$为两个$n$阶方阵，如果存在一个可逆矩阵$P$，使得$B =P^{- 1}{AP}$成立，则称矩阵$A$与$B$相似，记为$A \sim B$。

(2)相似矩阵的性质：如果$A \sim B$则有：

1. $A^{T} \sim B^{T}$

2. $A^{- 1} \sim B^{- 1}$ （若$A$，$B$均可逆）

3. $A^{k} \sim B^{k}$ （$k$为正整数）

4. $\left| {λE} - A \right| = \left| {λE} - B \right|$，从而$A,B$ 有相同的特征值

5.  $\left A \right = \left B \right$，从而$A,B$同时可逆或者不可逆
6.  秩$\left( A \right) =$秩$\left( B \right),\left {λE} - A \right =\left {λE} - B \right$，$A,B$不一定相似

### 二次型

1.$\mathbf{n}$个变量$\mathbf{x}{\mathbf{1} }\mathbf{,}\mathbf{x}{\mathbf{2} }\mathbf{,\dots,}\mathbf{x}_{\mathbf{n} }$的二次齐次函数

$f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n}{\sum_{j =1}^{n}{a_{ {ij} }x_{i}y_{j} } }$，其中$a_{ {ij} } = a_{ {ji} }(i,j =1,2,\dots,n)$，称为$n$元二次型，简称二次型. 若令$x = \ \begin{bmatrix}x_{1} \ x_{1} \ \vdots \ x_{n} \ \end{bmatrix},A = \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n} \ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n} \ \dots &\dots &\dots &\dots \ a_{n1}& a_{n2} & \dots & a_{ {nn} } \\end{bmatrix}$,这二次型$f$可改写成矩阵向量形式$f =x^{T}{Ax}$。其中$A$称为二次型矩阵，因为$a_{ {ij} } =a_{ {ji} }(i,j =1,2,\dots,n)$，所以二次型矩阵均为对称矩阵，且二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵$A$的秩称为二次型的秩。

2.惯性定理，二次型的标准形和规范形

(1) 惯性定理

(2) 标准形

$y = \sum_{i = 1}^{r}{d_{i}y_{i}^{2} }$称为 $f(r \leq n)$的标准形。在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由$r(A)$唯一确定。

(3) 规范形

3.用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定性

 设$A$正定$\Rightarrow {kA}(k > 0),A^{T},A^{- 1},A^{*}$正定；$A >0$,$A$可逆；$a_{ {ii} } > 0$，且$A_{ {ii} } > 0$

$A$，$B$正定$\Rightarrow A +B$正定，但${AB}$，${BA}$不一定正定

$A$正定$\Leftrightarrow f(x) = x^{T}{Ax} > 0,\forall x \neq 0$

$\Leftrightarrow A$的各阶顺序主子式全大于零

$\Leftrightarrow A$的所有特征值大于零

$\Leftrightarrow A$的正惯性指数为$n$

$\Leftrightarrow$存在可逆阵$P$使$A = P^{T}P$

$\Leftrightarrow$存在正交矩阵$Q$，使$Q^{T}{AQ} = Q^{- 1}{AQ} =\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & \ \begin{matrix} & \ & \ \end{matrix} &\ddots & \ & & \lambda_{n} \ \end{pmatrix},$

 其中$\lambda_{i} > 0,i = 1,2,\dots,n.$正定$\Rightarrow {kA}(k >0),A^{T},A^{- 1},A^{*}$正定； $A > 0,A$可逆；$a_{ {ii} } >0$，且$A_{ {ii} } > 0$ 。