线性代数 wu-kan

转载自斯坦福大学 2014(吴恩达)机器学习教程中文笔记,感谢编者黄海广博士。

线性代数

行列式

1.行列式按行(列)展开定理

(1) 设$A = ( a_{ {ij} } ){n \times n}$,则:$a{i1}A_{j1} +a_{i2}A_{j2} + \dots + a_{ {in} }A_{ {jn} } = \begin{cases}A,i=j\ 0,i \neq j\end{cases}$
或$a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \dots + a_{ {ni} }A_{ {nj} } = \begin{cases}A,i=j\ 0,i \neq j\end{cases}$即 $AA^{} = A^{}A = \leftA \rightE,$其中:$A^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1n} \ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2n} \ \dots & \dots & \dots & \dots \ A_{n1} & A_{n2} & \dots & A_{ {nn} } \ \end{pmatrix} = (A_{ {ji} }) = {(A_{ {ij} })}^{T}$

$D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \ x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} \ \dots & \dots & \dots & \dots \ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & \dots & x_{n}^{n - 1} \ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})$

(2) 设$A,B$为$n$阶方阵,则$\left{AB} \right= \leftA \right\leftB \right= \leftB \right\leftA \right= \left{BA} \right$,但$\leftA \pm B \right= \leftA \right\pm \leftB \right$不一定成立。
(3) $\left{kA} \right= k^{n}\leftA \right$,$A$为$n$阶方阵。
(4) 设$A$为$n$阶方阵,$A^{T}=A;A^{- 1}=A^{- 1}$(若$A$可逆),$A^{*}=A^{n - 1}$

$n \geq 2$

(5) $\left\begin{matrix} & {A\quad O} \ & {O\quad B} \ \end{matrix} \right= \left\begin{matrix} & {A\quad C} \ & {O\quad B} \ \end{matrix} \right= \left\begin{matrix} & {A\quad O} \ & {C\quad B} \ \end{matrix} \right=A B$
,$A,B$为方阵,但$\left\begin{matrix} {O} & A_{m \times m} \ B_{n \times n} & { O} \ \end{matrix} \right= ({- 1)}^{ {mn} }A B$ 。    

(6) 范德蒙行列式$D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \ x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} \ \dots & \dots & \dots & \dots \ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n 1} & \dots & x_{n}^{n - 1} \ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})$

设$A$是$n$阶方阵,$\lambda_{i}(i = 1,2\dots,n)$是$A$的$n$个特征值,则 $|A| = \prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}​$

矩阵

矩阵:$m \times n$个数$a_{ {ij} }$排成$m$行$n$列的表格$\begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12}\quad\dots\quad a_{1n} \ a_{21}\quad a_{22}\quad\dots\quad a_{2n} \ \quad\dots\dots\dots\dots\dots \ a_{m1}\quad a_{m2}\quad\dots\quad a_{ {mn} } \ \end{bmatrix}$ 称为矩阵,简记为$A$,或者$\left( a_{ {ij} } \right)_{m \times n}$ 。若$m = n$,则称$A$是$n$阶矩阵或$n$阶方阵。

矩阵的线性运算

1.矩阵的加法

设$A = (a_{ {ij} }),B = (b_{ {ij} })$是两个$m \times n$矩阵,则$m \times n$ 矩阵$C = c_{ {ij} }) = a_{ {ij} } + b_{ {ij} }$称为矩阵$A$与$B$的和,记为$A + B = C$ 。

2.矩阵的数乘

设$A = (a_{ {ij} })$是$m \times n$矩阵,$k$是一个常数,则$m \times n$矩阵$(ka_{ {ij} })$称为数$k$与矩阵$A$的数乘,记为${kA}$。

3.矩阵的乘法

设$A = (a_{ {ij} })$是$m \times n$矩阵,$B = (b_{ {ij} })$是$n \times s$矩阵,那么$m \times s$矩阵$C = (c_{ {ij} })$,其中$c_{ {ij} } = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{ {in} }b_{ {nj} } = \sum_{k =1}^{n}{a_{ {ik} }b_{ {kj} } }$称为${AB}$的乘积,记为$C = AB$ 。

4. $\mathbf{A}^{\mathbf{T} }$$\mathbf{A}^{\mathbf{-1} }$$\mathbf{A}^{\mathbf{*} }$三者之间的关系

(1) ${(A^{T})}^{T} = A,{(AB)}^{T} = B^{T}A^{T},{(kA)}^{T} = kA^{T},{(A \pm B)}^{T} = A^{T} \pm B^{T}$

(2) $\left( A^{- 1} \right)^{- 1} = A,\left( {AB} \right)^{- 1} = B^{- 1}A^{- 1},\left( {kA} \right)^{- 1} = \frac{1}{k}A^{- 1},$

但 ${(A \pm B)}^{- 1} = A^{- 1} \pm B^{- 1}$不一定成立。

(3) $\left( A^{} \right)^{} =A^{n - 2}\ A\ \ (n \geq 3)$,$\left({AB} \right)^{} = B^{}A^{},$ $\left( {kA} \right)^{} = k^{n -1}A^{*}{\ \ }\left( n \geq 2 \right)$

但$\left( A \pm B \right)^{} = A^{} \pm B^{*}$不一定成立。

(4) ${(A^{- 1})}^{T} = {(A^{T})}^{- 1},\ \left( A^{- 1} \right)^{} ={(AA^{})}^{- 1},{(A^{})}^{T} = \left( A^{T} \right)^{}$

5.有关$\mathbf{A}^{\mathbf{*} }$的结论

(1) $AA^{} = A^{}A =AE$
(2) $A^{*}=A^{n - 1}\ (n \geq 2),\ \ \ \ {(kA)}^{} = k^{n -1}A^{},{ {\ \ }\left( A^{} \right)}^{} =A^{n - 2}A(n \geq 3)$
(3) 若$A$可逆,则$A^{*} =AA^{- 1},{(A^{})}^{} = \frac{1}{A}A$

(4) 若$A​$为$n​$阶方阵,则:

$r(A^*)=\begin{cases}n,\quad r(A)=n\ 1,\quad r(A)=n-1\ 0,\quad r(A)<n-1\end{cases}$

6.有关$\mathbf{A}^{\mathbf{- 1} }$的结论

$A$可逆$\Leftrightarrow AB = E; \LeftrightarrowA\neq 0; \Leftrightarrow r(A) = n;$

$\Leftrightarrow A$可以表示为初等矩阵的乘积;$\Leftrightarrow A;\Leftrightarrow Ax = 0$。

7.有关矩阵秩的结论

(1) 秩$r(A)$=行秩=列秩;

(2) $r(A_{m \times n}) \leq \min(m,n);$

(3) $A \neq 0 \Rightarrow r(A) \geq 1$;

(4) $r(A \pm B) \leq r(A) + r(B);$

(5) 初等变换不改变矩阵的秩

(6) $r(A) + r(B) - n \leq r(AB) \leq \min(r(A),r(B)),$特别若$AB = O$ 则:$r(A) + r(B) \leq n$

(7) 若$A^{- 1}$存在$\Rightarrow r(AB) = r(B);$ 若$B^{- 1}$存在 $\Rightarrow r(AB) = r(A);$

若$r(A_{m \times n}) = n \Rightarrow r(AB) = r(B);$ 若$r(A_{m \times s}) = n\Rightarrow r(AB) = r\left( A \right)$。

(8) $r(A_{m \times s}) = n \Leftrightarrow Ax = 0$只有零解

8.分块求逆公式

$\begin{pmatrix} A & O \ O & B \ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \ O & B^{- 1} \ \end{pmatrix}$; $\begin{pmatrix} A & C \ O & B \\end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}& - A^{- 1}CB^{- 1} \ O & B^{- 1} \ \end{pmatrix}$;

$\begin{pmatrix} A & O \ C & B \ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}&{O} \ - B^{- 1}CA^{- 1} & B^{- 1} \\end{pmatrix}$; $\begin{pmatrix} O & A \ B & O \ \end{pmatrix}^{- 1} =\begin{pmatrix} O & B^{- 1} \ A^{- 1} & O \ \end{pmatrix}$

这里$A$,$B$均为可逆方阵。

向量

1.有关向量组的线性表示

(1)$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$线性相关$\Leftrightarrow$至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

(2)$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$线性无关,$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$,$\beta$线性相关$\Leftrightarrow \beta$可以由$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$唯一线性表示。

(3) $\beta$可以由$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$线性表示 $\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s},\beta)$ 。

2.有关向量组的线性相关性

(1)部分相关,整体相关;整体无关,部分无关.

(2) ① $n$个$n$维向量 $\alpha_{1},\alpha_{2}\dots\alpha_{n}$线性无关$\Leftrightarrow \left|\left\lbrack \alpha_{1}\alpha_{2}\dots\alpha_{n} \right\rbrack \right| \neq0$, $n$个$n$维向量$\alpha_{1},\alpha_{2}\dots\alpha_{n}$线性相关 $\Leftrightarrow |\lbrack\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}\rbrack| = 0$ 。

② $n + 1$个$n$维向量线性相关。

③ 若$\alpha_{1},\alpha_{2}\dots\alpha_{S}$线性无关,则添加分量后仍线性无关;或一组向量线性相关,去掉某些分量后仍线性相关。

3.有关向量组的线性表示

(1) $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$线性相关$\Leftrightarrow$至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

(2) $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$线性无关,$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$,$\beta$线性相关$\Leftrightarrow\beta$ 可以由$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$唯一线性表示。

(3) $\beta$可以由$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$线性表示 $\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s},\beta)$

4.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

设$r(A_{m \times n}) =r$,则$A$的秩$r(A)$与$A$的行列向量组的线性相关性关系为:

(1) 若$r(A_{m \times n}) = r = m$,则$A$的行向量组线性无关。

(2) 若$r(A_{m \times n}) = r < m$,则$A$的行向量组线性相关。

(3) 若$r(A_{m \times n}) = r = n$,则$A$的列向量组线性无关。

(4) 若$r(A_{m \times n}) = r < n$,则$A$的列向量组线性相关。

5.$\mathbf{n}$维向量空间的基变换公式及过渡矩阵

若$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}$与$\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{n}$是向量空间$V$的两组基,则基变换公式为:

$(\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{n}) = (\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n})\begin{bmatrix} c_{11}& c_{12}& \dots & c_{1n} \ c_{21}& c_{22}&\dots & c_{2n} \ \dots & \dots & \dots & \dots \ c_{n1}& c_{n2} & \dots & c_{ {nn} } \\end{bmatrix} = (\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n})C$

其中$C$是可逆矩阵,称为由基$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}$到基$\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{n}$的过渡矩阵。

6.坐标变换公式

若向量$\gamma$在基$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}$与基$\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{n}$的坐标分别是 $X = {(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})}^{T}$,

$Y = \left( y_{1},y_{2},\dots,y_{n} \right)^{T}$ 即: $\gamma =x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + \dots + x_{n}\alpha_{n} = y_{1}\beta_{1} +y_{2}\beta_{2} + \dots + y_{n}\beta_{n}$,则向量坐标变换公式为$X = CY$ 或$Y = C^{- 1}X$,其中$C$是从基$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}$到基$\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{n}$的过渡矩阵。

7.向量的内积

$(\alpha,\beta) = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \dots + a_{n}b_{n} = \alpha^{T}\beta = \beta^{T}\alpha$

8.Schmidt 正交化

若$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$线性无关,则可构造$\beta_{1},\beta_{2},\dots,\beta_{s}$使其两两正交,且$\beta_{i}$仅是$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{i}$的线性组合$(i= 1,2,\dots,n)$,再把$\beta_{i}$单位化,记$\gamma_{i} =\frac{\beta_{i} }{\left| \beta_{i}\right|}$,则$\gamma_{1},\gamma_{2},\dots,\gamma_{i}$是规范正交向量组。其中 $\beta_{1} = \alpha_{1}$, $\beta_{2} = \alpha_{2} -\frac{(\alpha_{2},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}$ , $\beta_{3} =\alpha_{3} - \frac{(\alpha_{3},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} -\frac{(\alpha_{3},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2}$ ,

…………

$\beta_{s} = \alpha_{s} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2} - \dots - \frac{(\alpha_{s},\beta_{s - 1})}{(\beta_{s - 1},\beta_{s - 1})}\beta_{s - 1}$

9.正交基及规范正交基

向量空间一组基中的向量如果两两正交,就称为正交基;若正交基中每个向量都是单位向量,就称其为规范正交基。

线性方程组

1.克莱姆法则

线性方程组$\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \dots +a_{1n}x_{n} = b_{1} \ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \dots + a_{2n}x_{n} =b_{2} \ \quad\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \dots + a_{ {nn} }x_{n} = b_{n} \ \end{cases}$,如果系数行列式$D = \leftA \right\neq 0$,则方程组有唯一解,$x_{1} = \frac{D_{1} }{D},x_{2} = \frac{D_{2} }{D},\dots,x_{n} =\frac{D_{n} }{D}$,其中$D_{j}$是把$D$中第$j$列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式。

2. $n$阶矩阵$A$可逆$\Leftrightarrow Ax = 0$只有零解。$\Leftrightarrow\forall b,Ax = b$总有唯一解,一般地,$r(A_{m \times n}) = n \Leftrightarrow Ax= 0$只有零解。

3.非奇次线性方程组有解的充分必要条件,线性方程组解的性质和解的结构

(1) 设$A$为$m \times n$矩阵,若$r(A_{m \times n}) = m$,则对$Ax =b$而言必有$r(A) = r(A \vdots b) = m$,从而$Ax = b$有解。

(2) 设$x_{1},x_{2},\dots x_{s}$为$Ax = b$的解,则$k_{1}x_{1} + k_{2}x_{2}\dots + k_{s}x_{s}$当$k_{1} + k_{2} + \dots + k_{s} = 1$时仍为$Ax =b$的解;但当$k_{1} + k_{2} + \dots + k_{s} = 0$时,则为$Ax =0$的解。特别$\frac{x_{1} + x_{2} }{2}$为$Ax = b$的解;$2x_{3} - (x_{1} +x_{2})$为$Ax = 0$的解。

(3) 非齐次线性方程组${Ax} = b$无解$\Leftrightarrow r(A) + 1 =r(\overline{A}) \Leftrightarrow b$不能由$A$的列向量$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{n}$线性表示。

4.奇次线性方程组的基础解系和通解,解空间,非奇次线性方程组的通解

(1) 齐次方程组${Ax} = 0$恒有解(必有零解)。当有非零解时,由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量,因此${Ax}= 0$的全体解向量构成一个向量空间,称为该方程组的解空间,解空间的维数是$n - r(A)$,解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系。

(2) $\eta_{1},\eta_{2},\dots,\eta_{t}$是${Ax} = 0$的基础解系,即:

  1. $\eta_{1},\eta_{2},\dots,\eta_{t}$是${Ax} = 0$的解;

  2. $\eta_{1},\eta_{2},\dots,\eta_{t}$线性无关;

  3. ${Ax} = 0$的任一解都可以由$\eta_{1},\eta_{2},\dots,\eta_{t}$线性表出. $k_{1}\eta_{1} + k_{2}\eta_{2} + \dots + k_{t}\eta_{t}$是${Ax} = 0$的通解,其中$k_{1},k_{2},\dots,k_{t}$是任意常数。

矩阵的特征值和特征向量

1.矩阵的特征值和特征向量的概念及性质

(1) 设$\lambda$是$A$的一个特征值,则 ${kA},{aA} + {bE},A^{2},A^{m},f(A),A^{T},A^{- 1},A^{*}$有一个特征值分别为 ${kλ},{aλ} + b,\lambda^{2},\lambda^{m},f(\lambda),\lambda,\lambda^{- 1},\frac{|A|}{\lambda},$且对应特征向量相同($A^{T}$ 例外)。

(2)若$\lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{n}$为$A$的$n$个特征值,则$\sum_{i= 1}^{n}\lambda_{i} = \sum_{i = 1}^{n}a_{ {ii} },\prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}=A$ ,从而$A\neq 0 \Leftrightarrow A$没有特征值。

(3)设$\lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{s}$为$A$的$s$个特征值,对应特征向量为$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}$,

若: $\alpha = k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + \dots + k_{s}\alpha_{s}$ ,

则: $A^{n}\alpha = k_{1}A^{n}\alpha_{1} + k_{2}A^{n}\alpha_{2} + \dots +k_{s}A^{n}\alpha_{s} = k_{1}\lambda_{1}^{n}\alpha_{1} +k_{2}\lambda_{2}^{n}\alpha_{2} + \dots k_{s}\lambda_{s}^{n}\alpha_{s}$ 。

2.相似变换、相似矩阵的概念及性质

(1) 若$A \sim B$,则

  1. $A^{T} \sim B^{T},A^{- 1} \sim B^{- 1},,A^{} \sim B^{}$

  2. $A=B,\sum_{i = 1}^{n}A_{ {ii} } = \sum_{i =1}^{n}b_{ {ii} },r(A) = r(B)$
  3. $\lambda E - A=\lambda E - B$,对$\forall\lambda$成立

3.矩阵可相似对角化的充分必要条件

(1)设$A$为$n$阶方阵,则$A$可对角化$\Leftrightarrow$对每个$k_{i}$重根特征值$\lambda_{i}$,有$n-r(\lambda_{i}E - A) = k_{i}$

(2) 设$A$可对角化,则由$P^{- 1}{AP} = \Lambda,$有$A = {PΛ}P^{-1}$,从而$A^{n} = P\Lambda^{n}P^{- 1}$

(3) 重要结论

  1. 若$A \sim B,C \sim D​$,则$\begin{bmatrix} A & O \ O & C \\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} B & O \ O & D \\end{bmatrix}​$.

  2. 若$A \sim B$,则$f(A) \sim f(B),\leftf(A) \right\sim \leftf(B)\right$,其中$f(A)$为关于$n$阶方阵$A$的多项式。
  3. 若$A$为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数(重根重复计算)=秩($A$)

4.实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵

(1)相似矩阵:设$A,B$为两个$n$阶方阵,如果存在一个可逆矩阵$P$,使得$B =P^{- 1}{AP}$成立,则称矩阵$A$与$B$相似,记为$A \sim B$。

(2)相似矩阵的性质:如果$A \sim B$则有:

  1. $A^{T} \sim B^{T}$

  2. $A^{- 1} \sim B^{- 1}$ (若$A$,$B$均可逆)

  3. $A^{k} \sim B^{k}$ ($k$为正整数)

  4. $\left| {λE} - A \right| = \left| {λE} - B \right|$,从而$A,B$ 有相同的特征值

  5. $\leftA \right= \leftB \right$,从而$A,B$同时可逆或者不可逆
  6. 秩$\left( A \right) =$秩$\left( B \right),\left{λE} - A \right=\left{λE} - B \right$,$A,B$不一定相似

二次型

1.$\mathbf{n}$个变量$\mathbf{x}{\mathbf{1} }\mathbf{,}\mathbf{x}{\mathbf{2} }\mathbf{,\dots,}\mathbf{x}_{\mathbf{n} }$的二次齐次函数

$f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n}{\sum_{j =1}^{n}{a_{ {ij} }x_{i}y_{j} } }$,其中$a_{ {ij} } = a_{ {ji} }(i,j =1,2,\dots,n)$,称为$n$元二次型,简称二次型. 若令$x = \ \begin{bmatrix}x_{1} \ x_{1} \ \vdots \ x_{n} \ \end{bmatrix},A = \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n} \ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n} \ \dots &\dots &\dots &\dots \ a_{n1}& a_{n2} & \dots & a_{ {nn} } \\end{bmatrix}$,这二次型$f$可改写成矩阵向量形式$f =x^{T}{Ax}$。其中$A$称为二次型矩阵,因为$a_{ {ij} } =a_{ {ji} }(i,j =1,2,\dots,n)$,所以二次型矩阵均为对称矩阵,且二次型与对称矩阵一一对应,并把矩阵$A$的秩称为二次型的秩。

2.惯性定理,二次型的标准形和规范形

(1) 惯性定理

对于任一二次型,不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型,其正负惯性指数与所选变换无关,这就是所谓的惯性定理。

(2) 标准形

二次型$f = \left( x_{1},x_{2},\dots,x_{n} \right) =x^{T}{Ax}$经过合同变换$x = {Cy}$化为$f = x^{T}{Ax} =y^{T}C^{T}{AC}$

$y = \sum_{i = 1}^{r}{d_{i}y_{i}^{2} }$称为 $f(r \leq n)$的标准形。在一般的数域内,二次型的标准形不是唯一的,与所作的合同变换有关,但系数不为零的平方项的个数由$r(A)$唯一确定。

(3) 规范形

任一实二次型$f$都可经过合同变换化为规范形$f = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + \dots z_{p}^{2} - z_{p + 1}^{2} - \dots -z_{r}^{2}$,其中$r$为$A$的秩,$p$为正惯性指数,$r -p$为负惯性指数,且规范型唯一。

3.用正交变换和配方法化二次型为标准形,二次型及其矩阵的正定性

设$A$正定$\Rightarrow {kA}(k > 0),A^{T},A^{- 1},A^{*}$正定;$A>0$,$A$可逆;$a_{ {ii} } > 0$,且$A_{ {ii} }> 0$

$A$,$B$正定$\Rightarrow A +B$正定,但${AB}$,${BA}$不一定正定

$A$正定$\Leftrightarrow f(x) = x^{T}{Ax} > 0,\forall x \neq 0$

$\Leftrightarrow A$的各阶顺序主子式全大于零

$\Leftrightarrow A$的所有特征值大于零

$\Leftrightarrow A$的正惯性指数为$n$

$\Leftrightarrow$存在可逆阵$P$使$A = P^{T}P$

$\Leftrightarrow$存在正交矩阵$Q$,使$Q^{T}{AQ} = Q^{- 1}{AQ} =\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & \ \begin{matrix} & \ & \ \end{matrix} &\ddots & \ & & \lambda_{n} \ \end{pmatrix},$

其中$\lambda_{i} > 0,i = 1,2,\dots,n.$正定$\Rightarrow {kA}(k >0),A^{T},A^{- 1},A^{*}$正定; $A> 0,A$可逆;$a_{ {ii} } >0$,且$A_{ {ii} }> 0$ 。