图像分割

定义

分割可以看作将全图$R$划分为子区域$R_1,R_2,\dots,R_n$的过程（其中，$P(R)$为定义在集合$R$的点上的逻辑谓词）：

1. $\bigcup_{i=1}^nR_i=R$
2. $R_i$是连通块
3. $\forall i \ne j,R_i\cap R_j=\emptyset$
4. $\forall i \ne j,P(R_i\cup R_j)$为假
5. $P(R_i)$为真

图像分割一般基于亮度值的两种基本特性（不连续性和相似性）。

间断检测

寻找间断最一般方法是对整幅图像使用模板（滤波器）进行检测。

点检测

如果作用算子后的图像$\vert R(x,y)\vert >T$，其中阈值$T>0$，则模板中心位置的点为所求的点。

线检测

线检测通常采用如下 4 种摸板：

• 水平：

  -1	-1	-1
  2	2	2
  -1	-1	-1

• $+45\degree$：

  2	-1	-1
  -1	2	-1
  -1	-1	2

• 垂直：

  -1	2	-1
  -1	2	-1
  -1	2	-1

• $-45\degree$：

  -1	-1	2
  -1	2	-1
  2	-1	-1

如果上述 4 种模板产生的响应分别为：$R_1,R_2,R_3,R_4$，并且$\exist i\forall j\ne i \vert R_i\vert > \vert R_j \vert$，则认为此点与模板$i$方向的线有关。

边缘检测

傅里叶变换无法刻画边缘，只知道高频成分，不知道高频在哪里。一种方法是局部傅里叶变换，衍生出小波变换（就是要构造一种高通滤波器）：有震荡信号的位置（小范围震荡且积分为 0），可以刻画边缘。

主要使用一阶导数和二阶导数检测图像中的边缘。如下图所示，二阶导数会增大噪声，因此做边缘检测之前应该先抑制噪声（平滑）。

通常通过阈值确定边缘位置。

• 常用方法：
  • Canny 边缘检测器：低错误率（边缘一个不落，一个不多）；边缘点应该被很好定位（标记的边缘点与真实边缘中心之间的距离最小）；单一边缘点响应（对于真实的边缘点，检测器仅返回一个点，即真实边缘周围的局部最大数应该最小）
  • 算法步骤：用一个高斯滤波器平滑输入图像；计算梯度幅值图像和角度图像（Canny 为二阶梯度算子）$M(x,y)=\sqrt{g_x^2+g_y^2},\quad\alpha(x,y)=\arctan \frac{g_y}{g_x}$；梯度幅值图像应用非最大抑制；用双阈值处理和连接分析来检测并连接边缘
  • 双阈值法：高阈值$T_H$和低阈值$T_L$，比率为$2:1$或$3:1$ \(\begin{aligned} g_{NN}(x,y) &= g_N(x,y)\geq T_H & \text{强边缘}\\ g_{NL}(x,y) &= g_N(x,y)\geq T_L & \text{弱边缘（可能是边缘也可能不是）+强边缘}\\ g_{NL}(x,y) &= g_{NL}(x,y)-g_{NH}(x,y) & \text{弱边缘} \end{aligned}\)
  • 用弱边缘补齐强边缘来获得完整边缘
  • 在$g_{NN}(x,y)$中定位下一个未被访问的边缘像素$p$
  • 在$g_{NL}(x,y)$中用 8 连通方法连接到$p$
  • 如果$g_{NN}(x,y)$中所有非零标记都已经访问过，则跳到(d)，否则(a)
  • 将$g_{NL}(x,y)$中未被标记为有效边缘的像素的所有像素置零。
  • 将$g_{NL}(x,y)$中非零像素附加到$g_{NN}(x,y)$
  • 边缘连接：边界是封闭的边缘。$\text{边界检测}=\text{边缘检测}+\text{边缘连接}$
  • 区域处理：用多边形拟合算法
  • 边界检测
    • 用 Hough（霍夫）变换进行边界检测：通过边界点找已知形状的目标。
    • 直线检测问题：已知一组边缘点，找一条直线，使它通过最多边缘点。直线方程用极坐标表示$\rho=x\cos\theta+y\sin\theta$通过辅助角变换可得$\rho=A_0\sin(\theta+\phi_0)$故可映射到$\rho O\theta$空间，其中每一个点是$xOy$平面上的通过同一个点的一条线。如果有一组位于由参数$\rho_0$和$\theta_0$决定的直线上的边缘点，则每个边缘点对应了$\rho,\theta$空间的一条正弦曲线。所有这些曲线必然会交于点$(\rho_0,\theta_0)$，因为这是它们共享的一条直线的参数。故对于边缘点的直线拟合问题，即找一个使边缘点确定的正弦曲线相交最多的点$(\rho,\theta)$。