CC BY 4.0 （除特别声明或转载文章外）
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- 平移：$(A)_z=\lbrace c\mid c=a+z,a\in A\rbrace $，$A$的原点移动到$z$
- 映射：$\hat{B}=\lbrace w\mid w=-b,b\in B\rbrace $
- 求补集：$A^c=\lbrace w\mid w\notin A\rbrace $
- 求差集：$A-B=\lbrace w\mid w\in A,w \notin B\rbrace =A\bigcup B^c$
- 膨胀：$A\oplus B=\lbrace z\mid (\hat{B})_z\bigcap A=\emptyset\rbrace $，又有$(A\ominus B)^c=A^c\oplus \hat{B}$（易从上面等式推出）
- 腐蚀：$A\ominus B=\lbrace z\mid (B)_z \subseteq A\rbrace =\lbrace z\mid (B)_z\bigcap A=(B)_z\rbrace $
- 开操作（先腐蚀后膨胀，平滑轮廓，切断狭区，消除小的孤岛和突刺）：$A\circ B=(A\ominus B)\oplus B$；且有性质$A\subseteq A\circ B,C\subseteq D \to C\circ B \subseteq D\circ B,(A \circ B)\circ B=A\circ B$（算子应用一次后，一个集合进行多少次开操作或闭操作或闭操作都不会有变化）
- 闭操作（先膨胀后腐蚀，平滑轮廓，融合狭窄的间断和细长的「沟壑」，消除小的空洞）：$A\bullet B=(A\oplus B)\ominus B$；且有性质$A\subseteq A\bullet B,C\subseteq D \to C\bullet B \subseteq D\bullet B,(A \bullet B)\bullet B=A\bullet B$
- 击中或击不中变换：令$B=(B_1,B_2)$，则用结构$B$对集合$A$进行匹配操作的定义为$A\circledast B=(A\ominus B_1)\bigcap(A^c\ominus B_2)=(A\ominus B_1)-(A\oplus\hat{B_2})$
- 边界提取：集合$A$的边界$\beta(A)=A-(A\ominus B)$
- 区域填充：取集合$A$上初始点$p$，取$X_0=p$，计算$X_k=(X_{k-1}\oplus B)\bigcap A$，直到$X_k=X_{k-1}$，则$X_k$为所求。
- 连通分量：设$A$为包含子集的集合，取一个边界内的初始点$p$，取$X_0=p$，计算$X_k=(X_{k-1}\oplus B)\bigcap A$，直到$X_k=X_{k-1}$，则$X_k$为所求
- 凸壳：如果连接集合$A$内任意两点的直线段都在$A$的内部，就称$A$是凸集；任意集合$S$的凸壳$H$是包含$S$的最小凸集，集合差$H-S$称为$S$的凸缺
- 令$B^i,i=1,2,3,4$表示下图四个结构元（最外圈边缘四行），$X_k^i=(X_{k-1}\circledast B^i)\bigcup A ,i=1,2,3,4,k=1,2,\dots$，且取$X_0^i=A$。当$X_k^i=X_{k-1}^i$时，我们令$D^i=X_k^i$，则$A$的凸壳$C(A)=\bigcup_{i=1}^4D^i$
- 换言之，反复由$B^i$对$A$做击中或击不中变换，直到结果不变化时得到$D^i$
- 细化：$A\otimes B=A-(A\circledast B)=A\bigcap(A\circledast B)^c$
- 用结构元素序列$\lbrace B\rbrace =\lbrace B^1,B^2,\dots,B^n\rbrace $对集合$A$的细化定义为$a\otimes \lbrace B\rbrace =(\dots((A\otimes B^1)\otimes B^2)\dots)\otimes B^n$
- 粗化：$A\odot B=A\bigcup (A\circledast B)$
- 用结构元素序列$\lbrace B\rbrace =\lbrace B^1,B^2,\dots,B^n\rbrace $对集合$A$的细化定义为$a\odot \lbrace B\rbrace =(\dots((A\odot B^1)\odot B^2)\dots)\odot B^n$
- 骨架：$S(A)=\bigcup{k=0}^KS_k(A),S_k(A)=\bigcup{k=0}^K\mid (A\ominus kB)-[(A\ominus kB)\odot B]\mid $
- 裁剪：$X_1=A\otimes \lbrace B\rbrace ,X_2=\bigcup_{k=1}^s(X_1\circledast B^k),X_3=(X_2\oplus H)\bigcap A,X_4=X_1\bigcup X_3$，$X_4$是裁剪集合$A$的结果。用第一个等式求取$X_1$的次数必须是确定的。结构元素$V$用于前两个等式。第三个等式中，$H$表示结构元素。
灰度级图像扩展
- $b$是平坦元
- 腐蚀：$f\ominus b=\min_{(s,t)\in b}\lbrace f(x+s,y+t)\rbrace $
- 膨胀：$f\oplus b=\max_{(s,t)\in b}\lbrace f(x-s,y-t)\rbrace $
- $b_N$是非平坦元
- 腐蚀：$f\ominus b=\min_{(s,t)\in b}\lbrace f(x+s,y+t)-b_N(s,t)\rbrace $；如果所有结构元素值为正，则图像变暗；如果在输入图像中亮的细节比结构元素的面积小，则亮度效果将被消弱
- 膨胀：$f\oplus b=\max_{(s,t)\in b}\lbrace f(x-s,y-t)+b_N(s,t)\rbrace $，又有$(f\ominus b)^c(s,t)=(f^c\oplus\hat{b})(s,t)$，其中$f^c=-f(x,y),\hat{b}=b(-x,-y)$
- 开操作和闭操作：灰度图像的开操作和闭操作与二值图像的对应操作具有相同的形式。开操作经常用于去除小的明亮的细节；闭操作经常用于去除小的黑暗的细节。
- 形态学图像平滑：先采用开操作，然后采用闭操作以去除亮和暗的噪声。
- 形态学图像梯度：$g=f\oplus b-f\ominus b$
- 形态学 top-hat 变换：$T_{hat}=f-f\circ b$（白顶帽变换）；$B_{hat}=f\bullet b-f$（黑底帽变换）